6.2.4. Основная задача моделирования процессов с помощью теории СМО

Основная задача теории СМО заключается в установлении зависимости между характером потока заявок на входе СМО, производительностью одного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания. В качестве критерия эффективности могут быть использованы различные функции и величины:

• среднее время простоя системы;

• среднее время ожидания в очереди;

• закон распределения длительности ожидания требования в очереди;

• средний процент заявок, получивших отказ, и т. д.

Выбор критерия зависит от вида системы. Например, для систем с отказами главной характеристикой является абсолютная пропускная способность СМО; менее важные критерии – число занятых каналов (агрегатов), среднее относительное время простоя одного канала и системы в целом. Для систем без потерь (с неограниченным ожиданием) важнейшим является среднее время простоя в очереди, среднее число требований в очереди, среднее время пребывания требований в системе, коэффициент простоя и коэффициент загрузки обслуживающей системы. Современная теория СМО является совокупностью аналитических методов исследования перечисленных разновидностей СМО.

Пример. Пусть имеется один обслуживающий агрегат, на который поступает случайный поток требований. Такой простой моделью описывается и работа продавца в магазине, в котором один продавец, и работа чиновника, отвечающего на письма граждан.

Если в момент поступления требования агрегат свободен, то оно сразу начинает обслуживаться. В противном случае оно становится в очередь и агрегат обслуживает требования одно за другим в порядке их поступления. Пусть а — среднее число требований, поступающих за время одного обслуживания (а < 1) и Т – период занятости, т. е. промежуток времени от момента занятия агрегата каким-либо требованием, заставшим агрегат свободным, до первого момента полного освобождения агрегата. Условие, которое мы ввели для магазина означает, что клиенты в среднем приходят чуть реже, чем длится цикл обслуживания одного клиента.

Теория СМО показывает, что при естественных допущениях математическое ожидание периода Т равно m = 1/(1 – а), а дисперсия равна (1 + а) m³ (так, при а = 0,8 соответствующие значения равны 5 и 225). То есть для того же магазина длительность периода занятости продавца будет колебаться в огромных пределах.

Таким образом, для «хорошо загруженного» обслуживающего агрегата (то есть при а, близких к единице) среднее значение т случайной величины Т для этой величины является весьма ненадежной характеристикой. А это означает, что если мы спланируем загрузку продавца в магазинчике или чиновника, исходя из средних показателей потока, факт и план будут расходиться весьма серьезно. Следовательно, без моделирования средствами теории СМО нам не обойтись.